✨Bất đẳng thức Agmon

Trong giải tích toán học, các bất đẳng thức Agmon bao gồm hai bất đẳng thức nội suy có liên quan chặt chẽ giữa các không gian $L^\backslash infty$ và không gian Sobolev $H^s$, rất hữu ích trong việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Kết quả này được đặt tên theo Shmuel Agmon, nhà toán học người Israel.

Phát biểu

Cho $u\backslash in\; H^2(\backslash Omega)\backslash cap\; H^1\_0(\backslash Omega)$, trong đó $\backslash Omega\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^k$

với $k=2,3$ khi đó bất đẳng thức Agmon khẳng định tồn tại hằng số $C$ sao cho

• '''Trường hợp $k\; =2$:'''

$\backslash |u\backslash |\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}\backslash le\; C\backslash |u\backslash |\_\{L^2\; (\backslash Omega)\}^\{1/2\}\backslash |u\backslash |\_\{H^2(\backslash Omega)\}^\{1/2\}$

• '''Trường hợp $k=\; 3$

:''' $\backslash |u\backslash |\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}\backslash le\; C\backslash |u\backslash |\_\{H^1(\backslash Omega)\}^\{1/2\}\backslash |u\backslash |\_\{H^2(\backslash Omega)\}^\{1/2\}$

và

$\backslash |u\backslash |\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}\backslash le\; C\backslash |u\backslash |\_\{L^2(\backslash Omega)\}^\{1/4\}\backslash |u\backslash |\_\{H^2(\backslash Omega)\}^\{3/4\}$.

• '''Đối với trường hợp tổng quát $n-$

chiều:''' chọn $s\_1,s\_2$ sao cho . Khi đó, nếu và $\backslash frac\{n\}\{2\}=\backslash theta\; s\_1\; +\; (1-\backslash theta)s\_2$, tồn tại hằng số $C$ sao cho $\backslash |u\backslash |\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}\backslash le\; C\backslash |u\backslash |\_\{H^\{s\_1\}(\backslash Omega)\}^\{\backslash theta\}\backslash |u\backslash |\_\{H^\{s\_2\}(\backslash Omega)\}^\{1-\backslash theta\}$

với mọi $u\backslash in\; H^\{s\_2\}(\backslash Omega)$

.