✨Định lý tang

phải||Hình 1 - Tam giác với ba cạnh a, b, c và ba góc đối diện α, β, γ

Trong lượng giác, định lý tan biểu diễn mối liên quan giữa chiều dài hai cạnh của một tam giác và tan của hai góc đối diện với hai cạnh đó.

Với các ký hiệu trong hình bên, định lý tan được biểu diễn:

:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash tan[\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha-\backslash beta)]\}\{\backslash tan[\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha+\backslash beta)]\}.$

Chứng minh

Chứng minh định lý tan dựa vào định lý sin:

: $\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\backslash beta\}.$

Đặt

: $d\; =\; \backslash frac\{a\}\{\backslash sin\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\backslash beta\},$

ta có

: $a\; =\; d\; \backslash sin\backslash alpha\; \backslash text\{\; và\; \}b\; =\; d\; \backslash sin\backslash beta.\; \backslash ,$

Do đó

: $\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{d\; \backslash sin\; \backslash alpha\; -\; d\backslash sin\backslash beta\}\{d\backslash sin\backslash alpha\; +\; d\backslash sin\backslash beta\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; \backslash alpha\; -\; \backslash sin\backslash beta\}\{\backslash sin\backslash alpha\; +\; \backslash sin\backslash beta\}.$

Dùng công thức lượng giác

: $\backslash sin(\backslash alpha)\; \backslash pm\; \backslash sin(\backslash beta)\; =\; 2\; \backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash pm\; \backslash beta\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash mp\; \backslash beta\}\{2\}\; \backslash right),\; \backslash ;$

ta có

:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash sin\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash alpha-\backslash beta\backslash right)\backslash cos\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash alpha+\backslash beta\backslash right)\}\{2\backslash sin\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash alpha+\backslash beta\; \backslash right)\backslash cos\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash alpha-\backslash beta\backslash right)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash tan[\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha-\backslash beta)]\}\{\backslash tan[\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha+\backslash beta)]\}.\; \backslash qquad\backslash blacksquare$

Hoặc có thể chứng minh theo cách khác bằng công thức sau

: $\backslash tan\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash pm\; \backslash beta\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\backslash alpha\; \backslash pm\; \backslash sin\backslash beta\}\{\backslash cos\backslash alpha\; +\; \backslash cos\backslash beta\}$

(xem công thức tang góc chia đôi).

Ứng dụng

Từ công thức :$\backslash tan[\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha-\backslash beta)]\; =\; \backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; \backslash tan[\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha+\backslash beta)]=\; \backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; \backslash cot[\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}]$ ta tính được $\backslash alpha-\backslash beta$ nếu biết hai cạnh a, b của một tam giác và góc xen giữa $\backslash gamma$ hai cạnh đó. Biết $\backslash alpha+\backslash beta=180^\backslash circ-\backslash gamma$ ta tính được $\backslash alpha$ và $\backslash beta$. Cạnh thứ ba $c$ có thể tính bằng Định lý sin.