✨Hàm Dirichlet

Trong toán học, hàm Dirichlet là hàm chỉ thị $\backslash mathbf\{1\}$\Q của tập số hữu tỉ $\backslash Q$, với $\backslash mathbf\{1\}$\Q(x) = 1 khi là số hữu tỉ và $\backslash mathbf\{1\}\_\backslash Q(x)\; =\; 0$ khi không phải là số hữu tỉ (hay là số vô tỉ).

Hàm số này được đặt theo tên của nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Hàm Dirichlet là phản ví dụ điển hình cho nhiều lý thuyết toán học.

Tính chất

Công thức tường minh

Hàm Dirchlet có thể được biểu diễn dưới dạng hai phép tính giới hạn của một hàm liên tục như sau:

$$\backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash R,\; \backslash quad\; \backslash mathbf\{1\}\_\{\backslash Q\}(x)\; =\; \backslash lim\_\{k\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\backslash lim\_\{j\backslash to\backslash infty\}\backslash left(\backslash cos(k!\backslash pi\; x)\backslash right)^\{2j\}\backslash right)$$với và là hai số nguyên. Công thức này chỉ ra rằng hàm Dirchlet là hàm Baire loại 2.

Tính liên tục

Hàm Dirichlet không liên tục tại bất cứ điểm nào.

Chứng minh trên cũng giúp ta có một phản ví dụ cho định lý hội tụ đơn điệu không đúng khi xét tích phân Riemann.

Tính tuần hoàn

Với mọi số thực và bất cứ số hữu tỉ dương nào, ta đều dễ dàng có được $\backslash mathbf\{1\}$\Q(x + T) = \mathbf{1}\Q(x). Tính chất này khiến hàm Dirichlet là một ví dụ tốt cho hàm tuần hoàn khác hằng nhưng có tập chu kỳ - đồng thời là tập số hữu tỉ, trù mật trong $\backslash R$.

Tính khả tích

Mặc dù bị chặn, nhưng do hàm Dirichlet không liên tục tại bất cứ điểm nào trên $\backslash R$ nên nó không khả tích Riemann. (Xem thêm độ đo Lebesque) Tuy nhiên, hàm Dirichlet lại khả tích Lebesque trên $\backslash R$ và tích phân của nó trên $\backslash R$ bằng 0, do hàm Dirchlet bằng 0 hầu khắp nơi (chỉ trừ tập số hữu tỉ, mà tập số hữu tỉ là tập đếm được nên có độ đo không).