✨Hàm rect

nhỏ|phải|Hàm rect. Hàm chữ nhật hay hàm rect là một hàm toán học liên tục được định nghĩa như sau: :

Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu, hàm rect còn được định nghĩa theo cách khác như sau:

:

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục của hàm rect là một hàm sinc: :

và: :$\backslash mathcal\{F\}\{\backslash operatorname\{rect\}(t)\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash mathrm\{rect\}(t)\backslash cdot\; e^\{-i\; \backslash omega\; t\}\; \backslash ,\; dt\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\backslash cdot\; \backslash mathrm\{sinc\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\}\{2\backslash pi\}\backslash right).$

Mối quan hệ với hàm tri

Tích chập của 2 hàm rect là 1 hàm tri. :$\backslash mathrm\{tri\}(t)\; =\; \backslash mathrm\{rect\}(t)\; *\; \backslash mathrm\{rect\}(t).\backslash ,$

Ứng dụng trong xác suất

Sử dụng hàm rect như là một hàm mật độ xác suất, nó là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối đều liên tục với $a,b=-\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash frac\{1\}\{2\}$.

Hàm đặc trưng: :$\backslash varphi(k)\; =\; \backslash frac\{\backslash sin(k/2)\}\{k/2\},\backslash ,$ Hàm sinh mômen: :$M(k)=\backslash frac\{\backslash mathrm\{sinh\}(k/2)\}\{k/2\},\backslash ,$ với $\backslash mathrm\{sinh\}(t)$ là một hàm hypebolic.

Biểu diễn bằng hàm hữu tỉ

Hàm rect có thể được biểu diễn dưới dạng là giới hạn của 1 hàm hữu tỉ: :$\backslash sqcap(t)\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\; \backslash infty,\; n\backslash in\; \backslash mathbb(Z)\}\; \backslash frac\{1\}\{(2t)^\{2n\}+1\}$

Chứng minh

Trường hợp . Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t<1 cho nên (2t)2n→0 khi n→∝. :Suy ra: : Trường hợp $|t|>\backslash frac\{1\}\{2\}$. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t>1 cho nên (2t)2n→∝ khi n→∝. :Suy ra: :$\backslash lim${n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \frac{1}{+\infty+1} = 0, |t|>\frac{1}{2} *Trường hợp $|t|\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$. :Dễ dàng ta có: :$\backslash lim${n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \lim{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{1^{2n}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} Từ đó có thể định nghĩa hàm rect như sau: :$\backslash therefore\; \backslash mathrm\{rect\}(t)\; =\; \backslash sqcap(t)\; =\; \backslash lim${n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \blacksquare\ \end{cases}