✨Không gian thương (tô pô)

thumb|Hình cầu đồng phôi với không gian thương của một hình tròn, bằng cách dán tất cả các điểm biên của hình tròn với nhau thành một điểm. thumb|$[0,1]/\{0,1\}$ đồng phôi với đường tròn $S^1$. Trong tô pô và các ngành liên quan của toán học, không gian thương (quotient topology) của một không gian tô pô theo một quan hệ tương đương (hai ngôi) là một không gian tô pô mới, được xây dựng bằng cách gán tô pô thương cho tập hợp thương tương ứng, tức là tô pô mịn nhất sao cho các phép chiếu chuẩn tắc trở thành liên tục. Nói cách khác, một tập hợp trong không gian thương là mở khi và chỉ khi tạo ảnh của nó là mở trong không gian ban đầu.

Định nghĩa

Cho $\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)$ là một không gian tô pô, và $\backslash sim$ là một quan hệ tương đương trên $X$ $\backslash big($nhắc lại, một quan hệ toán học 2 ngôi $\backslash sim$ trên một tập $X$ là một tập con của $X\backslash times\; X$, nghĩa là

$\backslash sim$ $\backslash subseteq\{\backslash displaystyle\; X\backslash times\; X\}$$\backslash big)$. Tập hợp thương $Q=X/\backslash sim$ là tập hợp gồm tất cả các lớp tương đương trên $X$ theo quan hệ $\backslash sim$ . Thông thường, lớp tương đương của một phần tử $x\backslash in\; X$ được ký hiệu là $[x]$, hoặc $\backslash widetilde\; x$, hoặc $\backslash overline\; x$, nghĩa là: $[x]=\backslash big\backslash \{y\backslash in\; X\backslash \; \backslash big|\backslash \; y\backslash sim\; x\backslash big\backslash \}$ $Q=\backslash big(X/\backslash sim\backslash big)=\backslash Big\backslash \{[x]\backslash \; \backslash big|\backslash \; x\backslash in\; X\backslash Big\backslash \}$ * Không gian thương $Q$ được trang bị tô pô thương: :$\backslash tau\_Q\; =\; \backslash Big\backslash \{U\; \backslash subseteq\; Q\backslash \; \backslash big|\backslash \; \backslash big\backslash \{x\backslash in\; X:\; [x]\; \backslash in\; U\backslash big\backslash \}\backslash in\; \backslash tau\_X\backslash Big\backslash \}$ là tô pô mà các tập mở là các tập $U\backslash subseteq\; Q$ thỏa mãn tập $\backslash big\backslash \{x\backslash in\; X:\; [x]\; \backslash in\; U\backslash big\backslash \}$ là mở trong $\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)$.

• Một cách tương đương, các tập mở của không gian thương $\backslash big(Q,\backslash tau\_Q\backslash big)$ là các tập $U\backslash subseteq\; Q$ sao cho dưới toàn ánh

$f:\backslash \; \backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)\backslash longrightarrow\{\backslash displaystyle\; \{\backslash big\; (\}Q,\backslash tau\; \_\{Q\}\{\backslash big)$

      <math>x\longmapsto f(x)=[x]</math>

nghịch ảnh $f^\{-1\}\backslash big(U\backslash big)$ là mở trong $\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)$.

• Tô pô thương là tô pô cuối (final topology) của tập hợp thương theo ánh xạ $x\backslash longmapsto[x]$.

Ánh xạ thương (quotient map)

• Một ánh xạ $f:\backslash \; \backslash big(X,\backslash tau$X\big)\longrightarrow{\displaystyle {\big (}X/\sim,\tau {X/\sim}{\big) được gọi là ánh xạ thương (identification map) nếu nó toàn ánh và $\backslash bigg(U\backslash in\backslash tau${X/\sim,\tau{X/\sim\iff f^{-1}\big(U\big)\in\tau_X\bigg).

Một cách tương đương, $f$ là ánh xạ thương $\backslash iff$ $f$ toàn ánh và $X/\backslash sim$ đươc trang bị tô pô cuối cùng theo $f$.

• Cho $\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)$ là một không gian tô pô với quan hệ tương đương $\backslash sim$ . Khi đó ánh xạ chính tắc (canonical map) $q:\backslash \; \backslash big(X,\backslash tau$X\big)\longrightarrow{\displaystyle {\big (}X/\sim,\tau {X/\sim}{\big) là một ánh xạ thương.

Ví dụ

• Phép dán (gluing). Các nhà tô pô học thường nói về việc dán các điểm lại với nhau. Cho không gian tô pô $\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)$, dán 2 điểm $x,y$ trong $X$ có nghĩa là ta xét không gian thương thu được từ quan hệ tương đương $a\backslash sim\; b\backslash Leftrightarrow\; a=b$ hoặc $(a,b)=(x,y)$ hoặc $(a,b)=(y,x)$.
• Xét hình vuông đơn vị với quan hệ tương đương $\backslash sim$ sinh bởi điều kiện tất cả các điểm biên đều tương đương, do đó ta lập được 1 lớp tương đương gồm tất cả điểm biên của $[0,1]^2$. Khi đó $\backslash Big([0,1]^2/\backslash sim\backslash Big)\backslash cong\; S^2$, với $S^2$ là một mặt cầu bất kỳ.

liên_kết=https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADptin:Collapsing a subspace.svg|nhỏ|377x377px|Ví dụ, $[0,1]/\{0,1\}$ đồng phôi với đường tròn $S^1$

• Không gian mở rộng (adjunction space). Tổng quát, cho không gian tô pô$\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)$ và không gian con $\backslash big(A,\backslash tau\_A\backslash big)$ với $\backslash tau\_A=\backslash Big\{A\backslash cap\; U\backslash \; \backslash big|\backslash \; U\backslash in\backslash tau\_X\backslash Big\}$. Ta có thể gộp tất cả phần tử của $A$ thành một lớp tương đương và tất cả các phần tử của $X\backslash setminus\; A$ thành một lớp tương đương., nghĩa là

  $\backslash forall\; a\backslash in\; A,\backslash \; [a]=A$ $\backslash forall\; b\backslash in\; X\backslash setminus\; A,\backslash \; [b]=X\backslash setminus\; A$ Khi đó, ta nhận được không gian thương được kí hiệu là $X/A$. Mặt cầu 2 chiều đồng phôi với một hình tròn đóng, với biên được xác định bởi đúng một điểm: $D^2/\backslash partial\; D^2$.

• Xét không gian $\backslash mathbb\; R$ với tô pô Euclide, với quan hệ tương đương $x\backslash sim\; y\backslash Leftrightarrow\; (x-y)\backslash in\backslash mathbb\; Z$. Khi đó $\backslash mathbb\; R/\backslash sim$ đồng phôi với đường tròn đơn vị $S^1$ qua phép đồng phôi $[x]\backslash longmapsto\; e^\{\backslash frac\{2\backslash pi\}\{x$.

• Tổng quát hóa của ví dụ trước: cho $\backslash big(G,\backslash cdot,\backslash tau\_G\backslash big)$ là một nhóm tô pô tác động liên tục lên không gian tô pô $\backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)$. Xét quan hệ tương đương trong $X$ bởi $x\backslash sim\; y\backslash Leftrightarrow\backslash exists\; z\backslash in\; G:\backslash \; x,y\backslash in\backslash mathcal\; O\_z$, với $\backslash mathcal\; O\_z=G\backslash cdot\; z=\backslash big\{g\backslash cdot\; z\; \backslash \; \backslash big|\backslash \; g\backslash in\; G\backslash big\}$ là quỹ đạo của $z$ bởi tác động liên tục của $G$ lên tập hợp tất cả nhóm con của $G$. Khi đó $X/\backslash sim$ được gọi là không gian quỹ đạo (orbit space), kí hiệu là $X/G$. Trong ví dụ trước, $G=\backslash mathbb\; Z$ tác động tịnh tiến lên $\backslash mathbb\; R$. Không gian quỹ đạo $\backslash mathbb\; R/\backslash mathbb\; Z$ đồng phôi với $S^1$.

Ghi chú: $\backslash mathbb\; R/\backslash mathbb\; Z$ là một khái niệm vẫn còn mơ hồ. Nếu hiểu theo nghĩa $\backslash mathbb\; Z$ là một nhóm với phép cộng tác động lên $\backslash mathbb\; R$ thì không gian thương đồng phôi với đường tròn. Nếu hiểu theo nghĩa $\backslash mathbb\; Z$ là một không gian con của $\backslash mathbb\; R$ thì không gian thương đồng phôi với vô hạn đếm được cánh hoa giao nhau tại 1 điểm.

Tính chất

• Cho $\{\backslash displaystyle\; \backslash big(Y,\backslash tau\_Y\backslash big)\}$ là một không gian thương của $\{\backslash displaystyle\; \backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)\}$. Ánh xạ thương $q:\backslash \; \backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)\backslash longrightarrow\{\backslash displaystyle\; \backslash big(Y,\backslash tau\_Y\backslash big)\}$, là đặc trưng trong các toàn ánh do tính chất sau:

nhỏ|125x125px|Sơ đồ hợp nối ánh xạ giữa các không gian $X,\; Y$ và $Z$ cho không gian tô pô $\backslash big(Z,\backslash tau\_Z\backslash big)$ và $f:\backslash \; \backslash big(Y,\backslash tau\_Y\backslash big)\backslash longrightarrow\backslash big(Z,\backslash tau\_Z\backslash big)$, khi đó $f$ liên tục $\backslash iff$$f\backslash circ\; q$ liên tục.

• Không gian thương $X/\backslash sim$ cùng với ánh xạ thương $q:\backslash \; X\backslash longrightarrow\; X/\backslash sim$ được đặc trưng bởi tính phổ dụng (universal property) : nếu ánh xạ$g:\backslash \; \backslash big(X,\backslash tau\_X\backslash big)\backslash longrightarrow\backslash big(Z,\backslash tau\_Z\backslash big)$ là liên tục và thỏa mãn $g(a)=g(b),\backslash \; \backslash forall\; a,b\backslash in\; X:\backslash \; a\backslash sim\; b$, thì khi đó $\backslash exists$ $!$ $f:\backslash \; \backslash big(X/\backslash sim,\backslash tau\_\{X/\backslash sim\}\backslash big)\backslash longrightarrow\backslash big(Z,\backslash tau\_Z\backslash big)$ sao cho $g=f\backslash circ\; q$. Ta nói $g$ là một ánh xạ hạn chế thương. Do đó, các ánh xạ liên tục được xác định trên $X/\backslash sim$ chính là các ánh xạ được sinh bởi các ánh xạ liên tục được xác định trên $X$ theo quan hệ tương đương (theo nghĩa là chúng gửi các phần tử tương đương vào cùng một tạo ảnh). Tiêu chí này được sử dụng nhiều khi nghiên cứu không gian thương.
• Cho toàn ánh liên tục $q:\backslash \; X\backslash longrightarrow\; X/\backslash sim$. Ta có thể đặt câu hỏi với điều kiện nào thì $q$ là một ánh xạ thương ? Điều kiện đủ là $q$ là ánh xạ mở (điều này tương đương với $q$ là ánh xạ đóng). Lưu ý rằng đây là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần (nhắc lại: cho 2 mệnh đề P và Q, nếu P đúng $\backslash Rightarrow$ Q đúng thì P là điều kiện đủ của Q và Q là điều kiện cần của P) Ta có thể dễ dàng xây dựng các ví dụ về ánh xạ thương mà không phải là ánh xạ mở. Đối với các nhóm tô pô, ánh xạ thương là ánh xạ mở.

Tương quan với các khái niệm tô pô khác

Sự tách (separation)

• Nói chung, hệ tiên đề tách là không đúng đối với các không gian thương. Không gian thương $X/\backslash sim$ không nhất thiết kế thừa các tính chất tách của $X$, và $X/\backslash sim$ có thể có những tính chất tách mà $X$ không có.
• $X/\backslash sim$ là không gian $T\_1$ $\backslash iff$ mọi lớp tương đương là đóng trong $X$.
• Nếu ánh xạ thương là ánh xạ mở, thì $X/\backslash sim$ là Hausdorff $\backslash iff$ $\backslash sim$ là một tập con đóng trong không gian tích $\backslash big(X\backslash times\; X,\backslash rho\backslash big)$ với $\backslash rho$ là tô pô tích (nhác lại, một quan hệ toán học 2 ngôi $\backslash sim$ trên một tập $X$ là một tập con của $X\backslash times\; X$, nghĩa là $\backslash sim$ $\backslash subseteq\{\backslash displaystyle\; X\backslash times\; X\}$).

Tính liên thông (connectedness)

• Nếu một không gian là liên thông (hoặc liên thông đường) thì mọi không gian thương của nó cũng liên thông (hoặc liên thông đường)
• Nếu một không gian là đơn liên (hoặc co rót được-contractible space) thì không gian thương của nó không nhất thiết có các tính chất đó.

Tính compact

• Nếu một không gian là compact thì mọi không gian thương của nó cũng compact.
• Nếu một không gian là compact địa phương thì không gian thương của nó không nhất thiết compact địa phương.

Số chiều (Dimension)

• Số chiều tô pô của một không gian thương có thể lớn hơn hoặc bé hơn số chiều của không gian ban đầu. Đường cong phủ không gian cho ta các ví dụ như vậy.

Thư mục