✨Không gian xạ ảnh

Trong tô pô, một không gian xạ ảnh là một cấu trúc cơ bản cho phép thuần nhất hóa một không gian vectơ, nói cách khác là quên đi các tỷ lệ để chỉ xem xét các hướng. Ví dụ: $P\_n(\backslash mathbb\{R\})$ là không gian thương của ℝ{0} bởi quan hệ tương đương cộng tuyến.

Tương tự, không gian xạ ảnh phức $P\_n(\backslash mathbb\{C\})$ là không gian thương của $\backslash mathbb\{C\}^\{n+1\}\backslash backslash\{0\}$ bởi quan hệ cộng tuyến phức.

Không gian xạ ảnh là một trường hợp đặc biệt của đa tạp Grassmann: $P\_n(\backslash mathbb\{R\})=P(\backslash mathbb\{R\}^\{n+1\})=\backslash textbf\{Gr\}(1,\backslash mathbb\{R\}^\{n+1\})$.

Định nghĩa

Cho một K-không gian véc-tơ V, không gian xạ ảnh P(V) là tập hợp các lớp tương đương của V {0} dưới quan hệ tương đương ~ xác định bởi x ~ y nếu tồn tại một phần tử khác không λ trong K sao cho x = λy. Nếu V là một không gian véc-tơ tô pô, không gian thương P(V) là một không gian tô-pô, được trang bị tô pô thương (ví dụ K là trường các số thực hoặc trường các số phức với tô pô Euclid). Nếu V là một không gian hữu hạn chiều, chiều của P(V) bằng chiều của V trừ đi 1.

Không gian xạ ảnh một chiều $P\_1(K)$ cũng được gọi là đường thẳng xạ ảnh. Không gian xạ ảnh hai chiều $P\_2(K)$ cũng được gọi là mặt phẳng xạ ảnh.

Tính chất

nhỏ|Hai hệ tọa độ của đường thẳng xạ ảnh, ứng với phép chiếu từ đường tròn.

• Trang bị cho $V$ một chuẩn, ta có một phép phủ $\backslash pi:\backslash mathbb\{S\}(V)\backslash to\; P(V)$. Đây là một phép phủ bậc $2$. Ta có thể trang bị cho $P(V)$ một cấu trúc vi phân cảm sinh bởi phép phủ này.
• Với $n\backslash geq\; 2$, $\backslash pi\_1(P(\backslash mathbb\{R\}^n))\backslash simeq\backslash mathbb\{Z\}/2\backslash mathbb\{Z\}$. Phần tử sinh của nhóm cơ bản được cho bởi hợp của $\backslash pi$ với bất kỳ đường nào nối hai điểm đối cực của hình cầu $n$ chiều. (với $n=1$, ta có $P(\backslash mathbb\{R\}^n)\backslash simeq\backslash mathbb\{S\}^1$, do đó nhóm cơ bản của nó đẳng cấu với $\backslash mathbb\{Z\}$.)
• $P(\backslash mathbb\{R\}^n)$ là một đa tạp định hướng được khi và chỉ khi $n$ lẻ.

Phân thớ lặp

Trên $P(V=\backslash mathbb\{R\}^n)$ có một phân thớ véc-tơ mà thớ tại mỗi điểm $[v]\backslash in\; P(V)$ là không gian véc-tơ một chiều $Kv$. Đây được gọi là phân thớ lặp trên $P(V)$ (tautologique-tautological).