✨Nguyên hàm

thumb | 220x124px | right|Ký hiệu của [[tích phân]] Trong bộ môn giải tích, một nguyên hàm (tiếng Anh: primitive hoặc đơn giản hơn là anti-derivative) của một hàm số thực liên tục cho trước là một hàm sao cho có đạo hàm bằng , nghĩa là, = . Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định. Tìm một biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó hơn so với việc tìm đạo hàm, và không phải luôn luôn thực hiện được.

Tuy nhiên, bất kỳ hàm số liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn/khoảng từ a đến b nêu trên.

Nguyên hàm được liên hệ với tích phân thông qua định lý cơ bản của giải tích,cung cấp một phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số.

Định nghĩa

Cho hàm số f xác định trên K với K là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng_. _Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên K và F(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Thí dụ:

(1) Hàm số f (x) = cos x có nguyên hàm là F (x) = sin x vì (sin x)' = cos x (tức F '(x) = f (x)).

(2) Hàm số f (x) = a^x có nguyên hàm là F(x) = $\backslash frac\{a^x\}\{\backslash ln\; a\}$ vì $\backslash left\; (\backslash frac\{a^x\}\{\backslash ln\; a\}\; \backslash right)\text{'}$ = a^x.

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó: với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K và ngược lại với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. Do đó ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với số thực C. Vậy F(x) + C với số thực C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K. Kí hiệu: $\backslash int\; f(x)\backslash ,\; dx.$

Người ta chứng minh được mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Các hàm số có nguyên hàm trên K được gọi là khả tích trên K.

Tính chất

1. Nguyên hàm là một ánh xạ tuyến tính. Tức là nếu f và g là hai hàm số liên tục trên K thì

• $\backslash int\; [f(x)\; +\; g(x)]\backslash ,\; dx=\backslash int\; f(x)dx\; +\; \backslash int\; g(x)dx$
• $\backslash int\; kf(x)dx=k\backslash int\; f(x)dx$ (với mọi số thực _k_ khác 0).

Ví dụ: :$\backslash int\; \backslash sin^2x\backslash ,\; dx=\backslash int\; \backslash frac\{1-\backslash cos\; 2x\}\{2\}dx=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash int\; dx\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\; \backslash cos2x\; dx=\; \backslash frac\{x\}\{2\}-\; \backslash frac\{\backslash sin\; 2x\}\{4\}+\; C$.

2. Tích phân từng phần (xuất phát từ tính chất vi phân của tích): Nếu f = f(x) và g = g(x) là hai hàm số liên tục và khả vi trên K thì:

:$\backslash int\; f(x)d(g(x))\; =\; f(x)g(x)\; -\; \backslash int\; g(x)d(f(x))$ do: :$d(f(x)g(x))\; =\; f(x)d(g(x))\; +\; g(x)d(f(x))$)

Tính chất này thường được sử dụng để đưa việc tìm nguyên hàm của một hàm khó hoặc phức tạp hơn (thường là tích của nhiều loại hàm) về việc tìm nguyên hàm của một hàm dễ hoặc đơn giản hơn.

Ví dụ:

• Tích của hàm luỹ thừa và hàm mũ: :$\backslash int\; x^2e^xdx\; =\; \backslash int\; x^2d(e^x)\; =\; x^2e^x\; -\; \backslash int\; e^xd(x^2)\; =\; x^2e^x\; -\; 2\backslash int\; xe^xdx\; =\; x^2e^x\; -\; 2\backslash int\; xd(e^x)\; =\; x^2e^x\; -\; 2xe^x\; +\; 2\backslash int\; e^xdx\; =\; x^2e^x\; -\; 2xe^x\; +\; 2e^x\; +\; C$
• Tích của hàm luỹ thừa và hàm lượng giác: :$\backslash int\; x\backslash cos\; xdx\; =\; \backslash int\; xd(\backslash sin\; x)\; =\; x\backslash sin\; x\; -\; \backslash int\; \backslash sin\; xdx\; =\; x\backslash sin\; x\; +\; \backslash cos\; x\; +\; C$
• Tích của hàm mũ và hàm lượng giác: :$I\; =\; \backslash int\; e^x\backslash cos\; xdx\; =\; \backslash int\; \backslash cos\; xd(e^x)\; =\; e^x\backslash cos\; x\; -\; \backslash int\; e^xd(\backslash cos\; x)\; =\; e^x\backslash cos\; x\; +\; \backslash int\; e^x\backslash sin\; xdx\; =\; e^x\backslash cos\; x\; +\; \backslash int\; \backslash sin\; xd(e^x)\; =\; e^x\backslash cos\; x\; +\; e^x\backslash sin\; x\; -\; \backslash int\; e^xd(\backslash sin\; x)\; =\; e^x(\backslash sin\; x\; +\; \backslash cos\; x)\; -\; \backslash int\; e^x\backslash cos\; xdx\; =\; e^x(\backslash sin\; x\; +\; \backslash cos\; x)\; -\; I$ Suy ra: :$2I\; =\; e^x(\backslash sin\; x\; +\; \backslash cos\; x)$ hay :$I\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}e^x(\backslash sin\; x\; +\; \backslash cos\; x)\; +\; C$

3. Nguyên hàm của hàm hợp: Nếu F = F(g) là nguyên hàm của f = f(g) và g = g(x) là một hàm liên tục và khả vi trên K thì:

:$\backslash int\; f(g)g\text{'}(x)dx\; =\; \backslash int\; f(g)dg\; =\; F(g(x))\; +\; C$

Ví dụ: :$\backslash int\; \backslash tan\; xdx\; =\; \backslash int\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{\backslash cos\; x\}dx\; =\; -\backslash int\; \backslash frac\{(\backslash cos\; x)\text{'}\}\{\backslash cos\; x\}dx\; =\; -\backslash int\; \backslash frac\{d(\backslash cos\; x)\}\{\backslash cos\; x\}\; =\; -\backslash ln|\backslash cos\; x|\; +\; C$

Ý nghĩa

Các nguyên hàm có ý nghĩa quan trọng vì chúng được dùng để tính toán các tích phân, sử dụng định lý cơ bản của giải tích: nếu F là một nguyên hàm của f, thì:

:$\backslash int\backslash limits\_a^b\; f(x)\backslash ,\; dx\; =\; F(b)\; -\; F(a).$

Vì lý do này, tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm f cho trước đôi khi được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu bằng dấu tích phân, không có các cận:

:$\backslash int\; f(x)\backslash ,\; dx.$

Nếu F là một nguyên hàm của f, và hàm f xác định trên một khoảng nào đó, thì mọi nguyên hàm G khác của f khác với F bởi một hằng số: tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x. Nếu tập xác định của F gồm hai hay nhiều khoảng, thì có thể chọn những hằng số khác nhau trên mỗi khoảng. Ví dụ

:

là nguyên hàm tổng quát nhất của $f(x)=1/x^2$ trên tập xác định $(-\backslash infty,0)\backslash cup(0,\backslash infty).$ của nó.

Mọi hàm liên tục f đều có nguyên hàm.

Có nhiều hàm số có nguyên hàm nhưng không thể biểu diễn dưới dạng các hàm sơ cấp. Ví dụ:$\backslash int\; e^\{-x^2\}\backslash ,dx,\backslash qquad\; \backslash int\; \backslash frac\{\backslash sin(x)\}\{x\}\backslash ,dx,\backslash qquad\; \backslash int\backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; x\}\backslash ,dx.$

Công thức nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

Hàm hằng, hàm luỹ thừa:

• $\backslash int\; 0dx\; =\; C$
• $\backslash int\; dx\; =\; x\; +\; C$
• $\backslash int\; x^adx\; =\; \backslash frac\{x^\{a+1\{a+1\}\; +\; C$ với $a\; \backslash neq\; -1$ _Hàm mũ, hàm logarit_:
• $\backslash int\; e^xdx\; =\; e^x\; +\; C$
• $\backslash int\; a^xdx\; =\; \backslash frac\{a^x\}\{\backslash ln\; a\}\; +\; C$
• $\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{x\}\; =\; \backslash ln|x|\; +\; C$ _Hàm lượng giác_:
• $\backslash int\; \backslash cos\; xdx\; =\; \backslash sin\; x\; +\; C$
• $\backslash int\; \backslash sin\; xdx\; =\; -\backslash cos\; x\; +\; C$
• $\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash cos^2\; x\}=\backslash int\; (1+\{\backslash tan^2\; x\})dx=\backslash tan\; x\; +\; C$
• $\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash sin^2\; x\}=\backslash int\; (1+\{\backslash cot^2\; x\})dx=-\backslash cot\; x\; +\; C$ _Hàm lượng giác ngược_:
• $\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\; =\; \backslash arcsin\; x\; +\; C\; =\; -\backslash arccos\; x\; +\; C$
• $\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{x^2+1\}\; =\; \backslash arctan\; x\; +\; C\; =\; -\backslash arccot\; x\; +\; C$ Các công thức trên vẫn đúng nếu ta thay $x$ bằng $u=u(x)$ là hàm liên tục và khả vi trên miền xác định.