✨Định lý lá cờ Anh

thumb|Định lý Lá Cờ Nước Anh phát biểu rằng tổng diện tích hình vuông màu đỏ bằng tổng diện tích hình vuông màu xanh Trong hình học Euclid, định lý Lá Cờ Nước Anh phát biểu rằng cho một điểm P trên mặt phẳng hình chữ nhật ABCD khi đó tổng diện tích hai hình vuông với độ dài cạnh lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến hai đỉnh đối nhau bằng tổng diện tích hai hình vuông với các cạnh lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến hai đỉnh đối còn lại.

Định lý được thể hiện thông qua Phương trình sau:

: $AP^\{2\}+CP^\{2\}=BP^\{2\}+DP^\{2\}.\backslash ,$

Định lý cũng đúng nếu điểm P nằm trong không gian Euclid chứa hình chữ nhật.. Tuy nhiên định lý không còn đúng nếu như ta thay hình chữ nhật bởi một hình bình hành.

Chứng minh

thumb|Minh hoạ cách chứng minh Hình chiếu của P tới các cạnh AB, BC, CD, và AD lần lượt là các điểm w, x, y và z. Khi đó wxyz là một tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AwP, và ta thấy wP = Az, do đó

• $AP^\{2\}\; =\; Aw^\{2\}\; +\; wP^\{2\}\; =\; Aw^\{2\}\; +\; Az^\{2\}$ tương tự ta có:
• $PC^\{2\}\; =\; wB^\{2\}\; +\; zD^\{2\},$
• $BP^\{2\}\; =\; wB^\{2\}\; +\; Az^\{2\},$ và
• $PD^\{2\}\; =\; zD^\{2\}\; +\; Aw^\{2\}.$ Do đó: $AP^\{2\}\; +\; PC^\{2\}\; =\; (Aw^\{2\}\; +\; Az^\{2\})\; +\; (wB^\{2\}\; +\; zD^\{2\})$ $=\; (wB^\{2\}\; +\; Az^\{2\})\; +\; (zD^\{2\}\; +\; Aw^\{2\})\; =\; BP^\{2\}\; +\; PD^\{2\}$ ## Ứng dụng thumb|Tổng diện tích các tứ giác cùng màu bằng nhau Một ứng dụng định lý là cờ nước anh như sau: _Cho hai đa giác đều 2n cạnh là A₁A₂....A_2n và B₁B₂....B_2n khi đó tổng diện tích của hai tứ giác A_iA_i+1B_i+1B_i và A_i+nA_i+1+nB_i+1+nB_i+n là bằng nhau với mọi i=1,...,n_. Kết quả này được chứng minh từ trường hợp hai hình chữ nhật đồng dạng.

Mở rộng

Cho hai hình chữ nhật đồng dạng cùng hướng ABCD và A'B'C'D' khi đó ta có hệ thức:

Rõ ràng khi một trong hai hình chữ nhật suy biến thành một điểm thì sẽ có định lý Lá Cờ Anh.