✨Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian

Lý thuyết bất biến theo thời gian tuyến tính, thường được gọi là lý thuyết hệ thống LTI, xuất phát từ toán ứng dụng và có các ứng dụng trực tiếp trong quang phổ học cộng hưởng từ hạt nhân, địa chấn học, mạch điện, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển, và các lĩnh vực kỹ thuật khác. Nó nghiên cứu đáp ứng của một hệ thống tuyến tính và bất biến theo thời gian đối với một tín hiệu đầu vào tùy ý. Quỹ đạo của các hệ thống này thường được đo lường và theo dõi khi chúng di chuyển theo thời gian (ví dụ như, một dạng sóng âm), nhưng trong các ứng dụng như xử lý hình ảnh và lý thuyết trường, các hệ thống LTI cũng có quỹ đạo theo chiều không gian. Do đó, các hệ thống này cũng được gọi là _tuyến tính dịch chuyển bất biến _để tạo cho lý thuyết này tính tổng quát nhất có thể. Trong trường hợp các hệ thống thời gian rời rạc nói chung (tức là, lấy mẫu), tuyến tính _dịch chuyển bất biến _là một thuật ngữ tương ứng. Một ví dụ tốt về hệ thống LTI là mạch điện mà được tạo thành từ điện trở, tụ điện và cuộn cảm.

Tổng quan

Các tính chất xác định của bất kỳ hệ thống LTI nào là tuyến tính và bất biến theo thời gian.

• Tuyến tính có nghĩa là mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống là một biến đổi tuyến tính: Nếu đầu vào $x\_1(t)\backslash ,$ tạo ra đáp ứng $y\_1(t),\backslash ,$ và đầu vào $x\_2(t)\backslash ,$ tạo ra đáp ứng $y\_2(t),\backslash ,$ sau đó nhân hệ số và cộng lại đầu vào $a\_1\; x\_1(t)+\; a\_2\; x\_2(t)\backslash ,$ tạo ra đáp ứng tích và tổng $a\_1\; y\_1(t)\; +\; a\_2y\_2(t)\backslash ,$ trong đó $a\_1$ và $a\_2$ là các đại lượng vô hướng thực. Điều này có thể được mở rộng đến bất kỳ số lượng các đáp ứng đầu vào, và các số thực $c\_1,\; c\_2,\; \backslash ldots,\; c\_k$, :: Đầu vào   $\backslash sum\_k\; c\_k\backslash ,x\_k(t)$   tạo ra đầu ra   $\backslash sum\_k\; c\_k\backslash ,y\_k(t).\backslash ,$ : đặc biệt,

: trong đó $c${\omega} và $x${\omega} là các hệ số và đầu vào khác nhau trong một miền liên tục theo $\backslash omega$.Vì vậy nếu một hàm đầu vào có thể được đại diện bởi một chuỗi các hàm đầu vào, kết hợp "tuyến tính", như ta thấy, thì tương ứng với hàm đầu ra có thể được đại diện bởi chuỗi các hàm đầu ra tương ứng, _thang _và  _tổng _cũng như vậy.

• Thời gian bất biến có nghĩa rằng cho dù chúng ta áp dụng một đầu vào cho hệ thống ngay bây giờ hoặc _T _giây từ bây giờ, thì đầu ra sẽ giống hệt nhau ngoại trừ một thời gian trễ T giây. DO đó, nếu đầu ra theo đầu vào $x(t)$ là $y(t)$, thì đầu ra theo đầu vào $x(t-T)$ là $y(t-T)$. Do đó, hệ thống này là bất biến theo thời gian vì đầu ra không phụ thuộc vào thời gian cụ thể đưa vào đầu vào. Kết quả cơ bản trong lý thuyết hệ thống LTI là bất kỳ hệ thống LTI nào đều cũng có thể được miêu tả hoàn toàn bởi một hàm duy nhất được gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Đầu ra của hệ thống chỉ đơn giản là tích chập của đầu vào của hệ thống với đáp ứng xung của hệ thống. Phương pháp phân tích này thường được gọi là quan điểm miền thời gian. Kết quả tương tự cũng đúng với các hệ thống thời gian rời rạc tuyến tính thay đổi bất biến, trong đó các tín hiệu được lấy mẫu theo thời gian rời rạc, và tích chập được xác định theo trình tự.

Một cách tương đương, bất kỳ hệ thống LTI nào cũng có thể được miêu tả trong miền tần số bởi hàm truyền của hệ thống đó, đó là biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ thống (hoặc biến đổi Z trong trường hợp của các hệ thống thời gian rời rạc). Do tính chất của các phép biến đổi này, đầu ra của hệ thống trong miền tần số là tích của hàm truyền và biến đổi của đầu vào hệ thống đó. Nói cách khác, tích chập trong miền thời gian là tương đương với phép nhân trong miền tần số.

Đối với tất cả các hệ thống LTI, các hàm riêng và các hàm cơ bản của các bộ biến đổi, là các hàm mũ phức. Do đó, nếu đầu vào của một hệ thống có dạng sóng phức $A\; e^\{st\}$ với biên độ phức $A$ và tần số phức $s$, thì đầu ra sẽ là hằng số phức nào đó nhân với đầu vào, đó là $B\; e^\{st\}$ với biên độ phức mới $B$.TỈ số $B/A$ là hàm truyền tại tần số $s$.

Bởi vì sóng sin là một tổng của các hàm mũ phức tạp với các tần số phức liên hợp, nếu đầu vào của hệ thống là một hình sin, thì đầu ra của hệ thống cũng sẽ là một hình sin, có lẽ với một biên độ khác  và một pha khác, nhưng luôn luôn cùng tần số khi đạt đến trạng thái ổn định. Các hệ thống LTI không thể tạo ra các thành phần tần số mà không có trong đầu vào.

Lý thuyết hệ thống LTI mô tả nhiều hệ thống quan trọng rất tốt. Hầu hết các hệ thống LTI được coi là "dễ" để phân tích, ít nhất so với các trường hợp thời gian biến đổi và/hoặc phi tuyến. Bất kỳ hệ thống nào có thể được mô hình hóa bằng một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với các hệ số không đổi là một hệ thống LTI. Ví dụ về các hệ thống như vậy là mạch điện gồm các điện trở, cuộn cảm, và tụ điện (mạch RLC). Các hệ thống giảm xóc bằng lò xo lý tưởng cũng là những hệ thống LTI, và tương đương toán học với các mạch RLC.

Hầu hết các khái niệm hệ thống LTI là tương tự nhau giữa các trường hợp thời gian liên tục và thời gian rời rạc (dịch chuyển bất biến tuyến tính). Trong xử lý ảnh, các biến thời gian được thay thế bằng hai biến không gian, và khái niệm bất biến theo thời gian được thay thế bởi dịch chuyển bất biến hai chiều. Khi phân tích các giàn bộ lọc và các hệ thống MIMO, thường rất hữu ích để xem xét các vectơ của tín hiệu.

Một hệ thống tuyến tính mà không phải là bất biến theo thời gian có thể được giải bằng cách sử dụng các phương pháp khác như phương pháphàm Green. Phương pháp tương tự cũng phải được sử dụng khi các điều kiện ban đầu của bài toán không phải là rỗng.

Các hệ thống thời gian liên tục

Đáp ứng xung và tích chập

Để hiểu lý do tại sao tích chập tạo ra ở đầu ra của một hệ thống LTI, ta ký hiệu$\backslash textstyle\; \{x(u-\backslash tau);\backslash \; u\}$ để biểu diễn hàm $\backslash textstyle\; x(u-\backslash tau)$ với biến $\backslash textstyle\; u$ và hằng số $\backslash textstyle\; \backslash tau.$ Và ký hiệu ngắn hơn $\backslash textstyle\; \{x\}\backslash ,$ để biểu diễn $\backslash textstyle\; \{x(u);\backslash \; u\}.$Sau đó một hệ thống thời gian liên tục chuyển đổi một hàm đầu vào, $\backslash textstyle\; \{x\},$ thành một hàm đầu ra, $\backslash textstyle\; \{y\}.$ Và nói chung, mỗi giá trị của đầu ra có thể phụ thuộc vào tất cả giá trị của đầu vào. Khái niệm này được biểu diễn bởi:

trong đó $\backslash textstyle\; O\_t$ là toán tử biến đổi theo thời gian $\backslash textstyle\; t.$  Trong một hệ thống điển hình, $\backslash textstyle\; y(t)$ phụ thuộc nhiều nhất vào các giá trị của $\backslash textstyle\; x$ xảy ra gần thời gian $\backslash textstyle\; t.$  Trừ phi tự biến đổi chính nó theo $\backslash textstyle\; t,$ hàm đầ ra là hằng số, và hệ thống này chả có gì để chú ý.

Đối với một hệ thống tuyến tính, $\backslash textstyle\; O$ phải thỏa mãn Eq.1 :

Và yêu cầu bất biến theo thời gian là:

Chúng ta có thể viết đáp ứng xung này theo ký hiệu trên như sau  $\backslash textstyle\; h(t)\; \backslash \; \backslash stackrel\{\backslash text\{def\{=\}\backslash \; O\_t\{\backslash delta(u);\backslash \; u\}.$

which has the form of the right side of Eq.2 for the case $\backslash textstyle\; c${\tau} = x(\tau) and $\backslash textstyle\; x${\tau}(u) = \delta(u-\tau). Eq.2 then allows this continuation:

Tóm lại, hàm đầu vào, $\backslash textstyle\; \{x\},$  có thể được mô tả bởi một continuum của các hàm xung dịch chuyển theo thời gian, liên kết "tuyến tính", như phương trình Eq.1 ở trên. Thuộc tính tuyến tính của hệ thống cho phép đáp ứng của hệ thống được thể hiện bởi continuum của các đáp ứng xung tương ứng, liên kết cùng cách thức tương tự. Và thuộc tính bất biến theo thời gian cho phép liên kết đó được mô tả bởi tích phân tích chập.

Các phép toán trên có một mô phỏng đồ họa đơn giản. Các hệ thống không ổn định có thể được xây dựng và có thể hữu ích trong nhiều tình huống. Ngay cả hệ thống không thực cũng có thể được xây dựng và rất hữu ích trong nhiều trường hợp.

Tính nhân quả

Một hệ thống LTI thời gian rời rạc là nhân quả nếu giá trị hiện tại của đầu ra chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại và giá trị quá khứ của đầu vào., Một điều kiện cần và đủ cho tính nhân quả là

trong đó $h[n]$ là đáp ứng xung. Không thể tổng quát khi xác định quan hệ nhân quả từ biến đổi Z, vì biến đổi nghịch đảo là không duy nhất. Khi một vùng hội tụ được xác định, thì quan hệ nhân quả có thể được xác định.

Tính ổn định

Một hệ thống là giới hạn đầu vào, ổn định giới hạn đầu ra (ổn định BIBO) nếu, với mỗi đầu vào bị chặn, đầu ra là hữu hạn. Về mặt toán học, nếu

có nghĩa là

(nghĩa là, nếu đầu vào bị chặn bao gồm cả đầu ra bị chặn, nghĩa là các giá trị tuyệt đối lớn nhất của $x[n]$ và $y[n]$ là có giới hạn), thì hệ thống đó là ổn định. Một điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung $h[n]$, thỏa mãn

• Một ví dụ đơn giản của một bộ điều khiển LTI là hàm trễ$D\{x[n]\}\; \backslash \; \backslash stackrel\{\backslash text\{def\{=\}\backslash \; x[n-1]$. $D\; \backslash left(c\_1\; x\_1[n]\; +\; c\_2\; x\_2[n]\; \backslash right)\; =\; c\_1\; x\_1[n-1]\; +\; c\_2\; x\_2[n-1]\; =\; c\_1\; Dx\_1[n]\; +\; c\_2\; Dx\_2[n]$   (có nghĩa là tuyến tính) $D\{x[n-m]\}\; =\; x[n-m-1]\; =\; x[(n-1)-m]\; =\; D\{x\}[n-m]\backslash ,$   (có nghĩa là bất biến theo thời gian)

Độ ổn định

Trong miền tần số,vùng hội tụ phải chứa vòng tròn đơn vị (nghĩa là, quỹ đạo nghiệm số phải thỏa mãn $|z|=1$ với _z _là số phức).